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半导体物理：从硅到二极管

日期 2026-05-27    标签 electronics、semiconductor、notes

本文是“Ve311 电子电路”课程半导体物理部分的总结笔记，从原子层面介绍 PN 结的基本工作原理。

注意：本帖为翻译版，仅供参考。英文原帖在此。

硅的量子观点

价带与导带

硅的原子序数为 14，电子构型为 \([\text{Ne}]3\text{s}^2 3\text{p}^2\)。在孤立的硅原子中，电子的波函数和能级是清晰量子化且分立的，因此没有值得特别关注的特殊效应。

然而，在原子间距离与原子大小相当的硅晶体中，不同硅原子的波函数会显著重叠。这将导致合并与重组，最终形成：

一个能带 (band)是包含许多可能能级的能量区域。

在价带和导带之间，存在一个带隙 (bandgap)，其中不存在任何能级。带隙的大小由两个能带之间的能量差来衡量，通常记为 \(E_g\)。对于硅，室温下 \(E_g = 1.12\,e\mathrm{V}\)。

两个能带及带隙的可视化。（图片取自课堂讲义）

电子与空穴

在 \(0\,\text{K}\) 时，价带被完全填满，导带则完全空着。

随着温度逐渐升高，一些电子会被激发并进入导带，在价带中留下空穴。带负电的电子可以在导带中自由移动，带正电的空穴也可以在价带中自由“移动”，因此它们都可作为电流载体，称为本征载流子 (intrinsic carrier)，其浓度记为 \(n_i\)。

💡 实际上，在价带中真正移动的仍然是电子，它们占据空穴并在别处留下新的空穴。但这种描述难以定量分析，因此采用等效的空穴描述。

我们先考虑电子。为了量化电子在两个能带中的分布，需要两个重要特性：

电子是遵循泡利不相容原理的费米子，因此它们由费米-狄拉克分布函数 (Fermi-Dirac distribution function) 描述：

\[f(E) = \frac{1}{1 + \exp\left(\frac{E - E_f}{k_BT}\right)}\]

其中：

因此，导带中的电子浓度 \(n\) 由以下积分给出：

\[n = \int_{E_c}^\infty g_c(E) f(E) \mathrm{d}E\]

对于价带中的空穴浓度 \(p\)，我们需要使用 \(1 - f(E)\)，即某一特定量子态未被电子占据的概率：

\[p = \int_{-\infty}^{E_v} g_v(E) (1 - f(E)) \mathrm{d}E\]

对于本征（纯）硅，产生一个电子总伴随着产生一个空穴，因此有 \(n = p = n_i\)，这进一步表明费米能级位于带隙中间，记作本征费米能级 (intrinsic Fermi level) \(E_i\)。

另一方面，该积分得出一个重要且通用的关系式：

\[\boxed{n_i^2 = np = BT^3\exp\left(-\frac{E_g}{k_BT}\right)}\]

其中 \(B\) 是依赖于材料的常数。对于硅，\(B = 1.08 \times 10^{31}\,\mathrm{K^{-3}\cdot cm^{-6}}\)。方程 \(n_i^2 = np\) 描述了由成对调节的电子与空穴浓度平衡，而 \(BT^3\exp\) 项量化了在特定条件下总共能产生多少载流子。

💡 快速计算：在室温 \(300\,\text{K}\) 下，本征硅的 \(n_i \approx 10^{10}\,\mathrm{cm^{-3}}\)，与原子浓度相比很小。因此，纯硅是电的不良导体。

掺杂

掺杂的意义

由于纯硅导电性差，我们需要向系统中引入额外的载流子。有两类材料值得考虑：

当施主多于受主时，电子浓度 \(n\) 会增加并成为多数载流子 (majority carrier)，称为 n 型掺杂 (n-type doping)。反之，空穴浓度 \(p\) 会增加并成为多数载流子，称为 p 型掺杂 (p-type doping)。

实际掺杂计算

在实际掺杂中，引入的施主和受主数量很大，因此可以安全地假设：

以一个简单的 n 型掺杂为例：如果掺杂剂浓度为 \(N_D\)（\(N_D \gg n_i\)），由掺杂剂引入的额外电子浓度为 \(N_D^+\)，最终电子（多数载流子）浓度为 \(n\)，那么我们可以安全地假设 \(N_D = N_D^+ = n\)。然后，少数载流子 (minority carrier) 浓度可以通过 \(np = n_i^2\) 导出。

💡 想象一下水的质子自递平衡。这里的近似类似于酸碱溶液计算中使用的近似。

能级变化

掺杂剂的引入会移动费米能级的位置。在 n 型掺杂中，导带中有更多电子，因此电子占据导带的概率变大，导致费米能级上升。在 p 型掺杂中则相反。

定量方程如下，其中 \(q = e\) 为载流子电荷量：

\[\boxed{\begin{aligned} q \phi_n &= E_f - E_i = k_BT\ln\left(\frac{n}{n_i}\right) & \text{(n-type)} \\ q \phi_p &= E_i - E_f = k_BT\ln\left(\frac{p}{n_i}\right) & \text{(p-type)} \end{aligned}}\]

费米能级变化的可视化，左为 n 型，右为 p 型。（图片取自讲义）

PN 结

一块孤立的掺杂材料是枯燥的。当 p 型和 n 型两块掺杂材料紧密接触时，真正的乐趣才开始，这被称为PN 结 (PN junction)。

扩散与漂移

PN 结中有两个特征因素相互作用：

当 PN 结处于平衡状态（无外加电压）时，扩散和漂移相互平衡，没有净电流流动。

从动力学角度

p 型材料含有高浓度的空穴和低浓度的电子。而 n 型材料则含有高浓度的电子和低浓度的空穴。由于这种浓度差，只要两种材料紧密接触，多数载流子的扩散就会发生：

净扩散电流是从 p 侧流向 n 侧的。这个扩散过程将在接触表面产生一个没有自由移动多数载流子的耗尽区 (depletion zone)，其中 n 侧带正电，p 侧带负电。于是，这种电荷分布会产生一个内部电场，方向从 n 侧指向 p 侧，阻止进一步扩散。

该电场进一步引发少数载流子的漂移。p 侧的电子向 n 侧漂移，而 n 侧的空穴向 p 侧漂移，形成从 n 侧流向 p 侧的漂移电流。此漂移电流受少数载流子浓度的限制，因此内部电场的变化不会显著改变它。

从动力学角度看扩散 (D) 与漂移 (S) 的可视化。（图片取自课堂讲义）

💡 多数载流子因浓度差而扩散 \(\implies\) 耗尽区 & 内部电场 \(\implies\) 少数载流子因电场而漂移 \(\implies\) 净电流为零。

从能量角度

一块材料的费米能级衡量其电子的电势。由于平衡状态下 PN 结中没有净电流，因此 p 侧和 n 侧的费米能级应当相等。

为了实现这一点，p 侧的能级会上升，而 n 侧的能级会下降，形成一个称为内建电势 (built-in potential)的势垒 (potential barrier)：

\[\boxed{\phi_i = \phi_p + \phi_n = \frac{k_BT}{q}\ln\left(\frac{N_AN_D}{n_i^2}\right)}\]

其中 \(N_A\) 和 \(N_D\) 分别是 p 侧和 n 侧的掺杂浓度。这个势垒将被正在扩散的多数载流子看到，从而阻挡其流动。

从能量角度看内建电势的可视化。（图片取自课堂讲义）

外加偏压

当 PN 结接入电路时，可以作为二极管 (diode)使用，将电流限制为仅单向流动。首先，我们来讨论 PN 结在外加电压 \(V_a\) 作用下的行为。有两种情况：

正向偏置与反向偏置

当 PN 结的 p 侧电位更高（正向偏置）时，其费米能级因电压源拉走电子而下降。另一边，n 侧电位更低，接受电压源推入的电子，其费米能级上升。因此，势垒降低为 \(\phi_i - V_a\)，耗尽区变窄，进而导致扩散电流显著增加。最终结果是 PN 结中由扩散的多数载流子承载的较大正向电流。

当 PN 结的 n 侧电位更高（反向偏置）时，其费米能级上升；反之，p 侧的费米能级下降。于是，势垒增加到 \(\phi_i + V_a\)，耗尽区展宽，进一步阻挡扩散。最终结果是 PN 结中由漂移的少数载流子承载的很小的反向电流。

在电压偏置 \(V_a\) 下，PN 结中的电流为：

\[\boxed{I_D = I_S\left(\mathrm{e}^{\frac{qV_a}{k_BT}} - 1\right)}\]

其中 \(I_S\) 是反向饱和电流，本质上是前面描述的漂移电流。

💡 可以观察到，当 \(V_a\) 为正时，由于指数关系，二极管电流 \(I_D\) 会急剧增加。因此，绝不应在无串联电阻的情况下将二极管置于正向偏置。

正向偏置（左）与反向偏置（右）的可视化。（图片取自讲义）

反向击穿

反向偏置不能无限增加。当反向偏置电压超过某个阈值 \(V_{BR}\) 时，PN 结的反向电流会急剧增大，这意味着它不再能限制电流单向流动。这种现象称为击穿 (breakdown)。

击穿有两种机制：雪崩击穿 (avalanche breakdown) 和齐纳击穿 (Zener breakdown)。

PN 结的 I-V 特性，包括反向击穿。（图片取自课堂讲义）

总结

以上内容讲述了从硅的物理性质到 PN 结应用的完整故事。硅晶体提供了分离的价带和导带，掺杂提高了载流子浓度，而 PN 结利用了两种掺杂类型之间的扩散和漂移。PN 结可作为二极管使用，是当今所有电子电路的基石。

参考文献